TEORÍA COMBINATORIA

La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos.

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. 

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B

Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.

A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.

Ejemplo

Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?

* Solución:

Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:

         R   ,  V   , A

Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después la otra) es decir

    RR, RV. RA, VR, VV, VA,  AR, AV, AA

Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:

A: Se hacen señales con una sola bandera

B: Se hacen señales con dos banderas.

Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa

Ejercicio de permutaciones:

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

9. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

Solución:   

FACTORIALES

¿Qué es la función factorial?

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

En tu calculadora podrás ver una tecla con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá para calcular directamente el factorial del número que quieras.

Algunos ejemplos de factoriales

Vamos a ver algunos ejemplos más de factoriales:

Y, ¿qué hacemos con los números más pequeños? 1 factorial es, lógicamente, 1, ya que multiplicamos 1 x 1.Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya que 0 x 1 es 0. Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea igual a 1. Así que recuerda:

¿Para qué podemos utilizar los factoriales?

Los números factoriales se utilizan sobre todo en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.

Vamos a ver un ejemplo sencillo de problema en el que podemos aplicar los factoriales:

En este problema nos están pidiendo lo que se llama una permutación, es decir, que averigüemos todas las maneras posibles en las que estas 4 cartas se pueden combinar teniendo en cuenta el orden en el que las colocamos.

Si comenzamos haciendo todas las filas posibles comenzando con el as de diamantes, podemos hacer 6 combinaciones:

También tendremos 6 combinaciones posibles con el de tréboles, con el de corazones y con el de picas, es decir, 6 combinaciones empezando con cada una de las 4 cartas: 4 x 6 = 24

Utilizando la función factorial, podríamos haber resuelto el problema de forma mucho más sencilla:

Pensamos en una sola combinación de los 4 ases:

– Cuando hemos elegido el primero, ya solo nos quedan 3 para elegir

– Cuando hemos elegido el segundo, ya solo nos quedan 2 para elegir

– Cuando hemos elegido el tercero, ya solo nos queda 1 para elegir

Por lo tanto, todas las combinaciones posibles serán 4 x 3 x 2 x 1.

O lo que es lo mismo, 4! = 24

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:   n! = n × (n-1)!  .   Lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

SECCIONES CÓNICAS

Secciones Cónicas

Las cónicas son las curvas obtenidas al cortar la superficie de un cono por un plano que no pase por el vértice. Poseen curiosas e interesantes propiedades por las que se emplean a menudo en la ciencia, la técnica  o el arte.

Formación de cónicas.

Las superficies cónicas se generan haciendo girar una recta llamada generatriz alrededor de otra recta fija llamada eje a la que corta en un punto V llamado vértice. Cuando se corta una superficie cónica por un plano, las curvas obtenidas sobre el plano de corte son:

Circunferencia. 

Si el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la intersección es una curva llamada circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C) 

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:

 Se ubica un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia con centro C(0,0), y se calcula se distancia, es decir:

Ejercicio:

Ecuación de la circunferencia con centro (h,k):

Se identifica un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia y se calcula su distancia al centro C. Es decir:

Ejercicio:

 

Gráfica:

Elipse:

Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje, la intersección es una curva llamada elipse. El elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos contenidos en el mismo plano, llamados focos (F y F'), es constante.

Ecuación de la elipse con centro en el origen:

Cuando el eje focal coincide con el eje x.

Cuando el eje focal coincide con el eje y.

Ejercicio:

Ecuación de la elipse con centro en el punto C(h,k):

Cuando el eje focal coincide con el eje x.

Cuando el eje focal coincide con el eje y.

Ejercicio:

Parábola:

Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje y paralelo a un generatriz, la intersección es un curva llamada parábola. La parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (d).

Elementos de una parábola:

Ecuación de la parábola con vértice en el origen:

Cuando el eje focal coincide con el eje x.

Cuando coincide con el eje focal y.

Ejercicio:

Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Ecuación de la parábola con vértice en el origen:

Cuando el eje focal es paralelo al eje x.

Cuando el eje focal es paralelo al eje y.

Ejercicio:
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

Hipérbola:

Si el plano que corta a la superficie cónica es paralelo al eje, la intersección es una curva con dos ramas llamada hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F', llamados focos, es igual a una constante. es decir:

Elementos de la hipérbola:

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen:

Cuando el eje focal coincide con el eje x.

Cuando el eje focal coincide con el eje y.

Ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k):

Cuando el eje focal coincide con el eje x.

Cuando el eje focal coincide con el eje y.

Ejercicio:

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x² − 16y² = 144.