TEORÍA COMBINATORIA

La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos.

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. 

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B

Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.

A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.

Ejemplo

Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?

* Solución:

Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:

         R   ,  V   , A

Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después la otra) es decir

    RR, RV. RA, VR, VV, VA,  AR, AV, AA

Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:

A: Se hacen señales con una sola bandera

B: Se hacen señales con dos banderas.

Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa

Ejercicio de permutaciones:

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

9. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

Solución: