Las cónicas son las curvas obtenidas al cortar la superficie de un cono por un plano que no pase por el vértice. Poseen curiosas e interesantes propiedades por las que se emplean a menudo en la ciencia, la técnica o el arte.
Formación de cónicas.
Las superficies cónicas se generan haciendo girar una recta llamada generatriz alrededor de otra recta fija llamada eje a la que corta en un punto V llamado vértice. Cuando se corta una superficie cónica por un plano, las curvas obtenidas sobre el plano de corte son:
Circunferencia.
Si el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la intersección es una curva llamada circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C)
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:
Se ubica un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia con centro C(0,0), y se calcula se distancia, es decir:
Ejercicio:
Ecuación de la circunferencia con centro (h,k):
Se identifica un punto cualquiera P(x,y) de la circunferencia y se calcula su distancia al centro C. Es decir:
Ejercicio:
Gráfica:
Elipse:
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje, la intersección es una curva llamada elipse. El elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos contenidos en el mismo plano, llamados focos (F y F'), es constante.
Ecuación de la elipse con centro en el origen:
Cuando el eje focal coincide con el eje x.
Cuando el eje focal coincide con el eje y.
Ejercicio:
Ecuación de la elipse con centro en el punto C(h,k):
Cuando el eje focal coincide con el eje x.
Cuando el eje focal coincide con el eje y.
Ejercicio:
Parábola:
Si el plano que corta a la superficie cónica es oblicuo al eje y paralelo a un generatriz, la intersección es un curva llamada parábola. La parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (d).
Elementos de una parábola:
Ecuación de la parábola con vértice en el origen:
Cuando el eje focal coincide con el eje x.
Cuando coincide con el eje focal y.
Ejercicio:
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuación de la parábola con vértice en el origen:
Cuando el eje focal es paralelo al eje x.
Cuando el eje focal es paralelo al eje y.
Ejercicio: Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Hipérbola:
Si el plano que corta a la superficie cónica es paralelo al eje, la intersección es una curva con dos ramas llamada hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F', llamados focos, es igual a una constante. es decir:
Elementos de la hipérbola:
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen:
Cuando el eje focal coincide con el eje x.
Cuando el eje focal coincide con el eje y.
Ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k):
Cuando el eje focal coincide con el eje x.
Cuando el eje focal coincide con el eje y.
Ejercicio:
Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 − 16y2 = 144.
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